Luxalytics:非指向性——反应与预判 (2)-全球今日报

先考虑较为简单的情形：对手恰走位一次，且走位后的速度方向与走位前相反。

此时    服从    上的均匀分布，或者说命中的概率    为    与   、 两点连线所交线段长度的一半。显然，    时    有最大值    。

接下来去掉恰走位一次的限制，考虑至多走位一次，且走位后的速度方向与走位前相反的情形：

(资料图片仅供参考)

设不走位的概率为    ，    ，可证 ，在                 ，即    时    有最大值     。

接下来考虑一个看起来更实际，但是更复杂的情形：对手恰走位一次，且朝各个方向走位的概率相等。

设对手走位时刻为    ，方向与x轴正半轴所成夹角为    ，    ，    。则对任一    的子集    ，    落在    内的概率为

。

可以证明令   时，   诱导     到    的双射，    为单位圆盘。

在    时刻向    方向走位时，对应的点    为    ，有

从而

因此    点分布的概率密度函数为

，   为单位圆盘

设    对应的圆    为    ，          则易知    为有紧支集的连续函数，从而    可在某个    处取到最大值    。

可证    ，从而不妨设    在    处取得最大值。

又不妨设    ，则此时   与   交于两点    ，不妨设    坐标为   且    。

由    在    处取得最大值知    在    处取值为    ，即有

。

直接求积分知

，其中    。

令    ，整理可得方程

在以    为顶点的三角形中用余弦定理可解得    ，从而知    式左侧为关于    的一元函数，设其为    。可证    在    区间上单调递减，因此我们可以直接二分法求    在    上的唯一零点    的数值解，得到    与    的关系如下：

（）

实战中，对手朝各个方向走位的概率可能并不相同。那么对手习惯朝某一特定角度走位时该怎么预判呢？

考虑以下情形：

对手恰走位一次，且方向与x轴正半轴所成夹角为    （概率各一半）

此时    点服从图中红线上的均匀分布。

可证 若    

取    时，    有最大值   

若   

取   时，    有最大值 

若   

取    时，    有最大值   

可以看出，相比各向概率相等的假设，若对手走位角度小的概率较大，那么就可以多预判一点；如果对手走位方向往往接近反向，则可以少预判一点。而上节中的结果可以看作各种情况的“加权平均”。